1409. Bochvar och i:et

Varför introducerar Bochvar en assertion-operator?

Chip, chip..

Det hela tar sin början med att han utformar en slags "flervärdes"-logik som en lösning på semantiska paradoxer så som "den här meningen är falsk".

Bochvar lägger alltså till ett värde, till den klassiska logikens tidigare två värden; falsk och sann.

Vi kan kalla den tredje valören för i, och tolka den som varken sann eller falsk, men meningslös, och följande; paradoxal. Den har alltså inget sanningsvärde.

Satsen (A): "Den här meningen är falsk", skulle enligt Bochvar vara meningslös och paradoxal i sig själv. Haack har sina invändningar på det (jag kommer till det senare) och Bochvar får även problem med att flika in i:et på ett gångbart sätt i sanningsvärdestabeller.

Som följer.

A | A v -A
T | T T F
i | i i i
F | F T T

Eftersom i:et är smittosamt och smittar av sig på hela satsen, det vill säga; det räcker för en mening att någon del av den är i (meningslös) så blir hela meningen meningslös. (För att ta ett konkret exempel så skulle t.ex. Russells (ö)kända påstående "kungen av Frankrike är flintskallig" vara meningslös, just därför att meningens komponenter inte denoterar någonting). Detta är i stort Frege's uppfattning, och för att skydda sig från meningslösa satser; uttryck som inte denoterar någonting, så
'förbjöd' Frege allt sådant i utformandet av sin formella logik. Bochvar går ett steg längre, och försöker med införandet av sitt i utforma ett system som klarar av att handskas med sådana termer.

Detta medför så klart problem. För hur blir det med (tauto)logiska sanningar liknande den jag skrev i sanningsvärdestabellen ovanför: A v -A ("-" ska föreställa ett negationstecken), det blir helt enkelt omöjligt att utröna några logiska sanningar över huvud taget eftersom sådana bygger på att alla sanningsvärdena i sanningsvärdestabellernas kolumner är T (sanna). I Bochvars sanningsvärdestabeller ligger ett i i vägen.

För att komma undan det problemet så införde han då slutligen den så kallade assertion-operator. Som lägger sig som ett T framför satserna och kan översättas till något liknande som; "Det är sant att.. "

TA | -TA | TA v -TA
T | F | T T F
F | T | F T F
F | T | F T T

Vi kan då se att i en mening med endast sanna eller falska satser, så slår sanningsvärdet samma ut i en 3-värdeslogik som i en 2-värdeslogik. Och eftersom det inte är sant att A satisfierar A som ett meningslöst värde, så blir satsen "det är sant att A är A" falsk:

A | TA
T | T
i | F
F | F

Haack kritiserar Bochvars teori och främst införandet av i:et och Bochvars tolkning av "Den här meningen är falsk" för att slutsatsen bara skjuter fram paradoxen, så att om det är sant att "Den här meningen är falsk" så är den paradoxal, och vidare för motsatsen; om den är paradoxal så är den.

Jag förstår inte riktigt hennes invändning, eftersom hur Bochvar än översätter den så blir slutsatsen att påståendet är en paradox (och det är sant), att det är en meningslös mening, vilket ju var vad Bochvar ville antyda och det är väl i sig knappast någon lösning på själva paradoxen, men en fullgod redogörelse.

Vad jag däremot förstår, enligt Bochvars tidigare resonemang, men ställer mig frågande till, och det är risk för att jag inte alls förstår egentligen; hans hanterande av påståenden om paradoxer.

Med införandet av assertion operator 'T', så blir översättningen på "Den här meningen är falsk", som sådan: "Det är sant att 'Den här meningen är falsk'". Detta kan vid första anblick se ut som en motsägelse, men om man tänker att sanningsvärdet här flyttas ut från själva påståendet "Den här meningen är falsk" till "Det är sant att" så är det inte svårt att se att slutsatsen blir att påståendet "Det är sant att 'Den här meningen är falsk" är falskt. Då "Den här meningen är falsk" inte satisfierar något sanningsvärde i sig, och därför kan det heller inte vara sant att den är sann.

Två frågor:

* Eftersom i:et är smittosamt, blir inte ett påstående om en paradox, liknande den här; också meningslös?

Om så skulle vara fallet, skulle man inte ens kunna säga att det är sant att "Den här meningen är falsk" är meningslös. Vilket på alla sätt är motsägelsefullt.

Om så inte skulle vara fallet:

* Hur löser Bochvar i så fall meningar som "Den här meningen är meningslös"?

"Det är sant att den här meningen är meningslös."

Måste i sig själv vara meningslös, och därför sann. Och om den är sann, så är den meningslös men har samtidigt ett sanningsvärde. Vilket om något, är en motsägelse.

Tillbaka på ruta ett igen. Bla, bla, bla.